Algebra.html

Ten artykuł dotyczy działu matematyki. Zobacz też: hasło dotyczące struktury matematycznej, algebry nad ciałem K.

Dzieło, z którego pochodzi określenie "algebra"

Girolamo Cardano

Évariste Galois
(1811-1832)

Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności.

edytuj Historia

Ostrzeżenie

Część zawartości tej strony może naruszać prawa autorskie

Jeżeli oznaczyłeś tę stronę jako podejrzaną o naruszenie praw autorskich, dodaj link do sekcji zgłoszone artykuły na WP:NPA:

=== [[Algebra]] ===
* źródło: Sekcja historia pochodzi z Encyklopedii Szkolnej - matematyka, str. 7, WSiP Warszawa 1990. Przepisana prawie słowo w słowo, leży tak od 2001 roku. Markotek (dyskusja) 22:40, 12 lip 2008 (CEST).
* uwagi: prawa autorskie narusza część strony. ~~~~

Tekst źródłowy prawdopodobnie pochodzi ze strony:

Sekcja historia pochodzi z Encyklopedii Szkolnej - matematyka, str. 7, WSiP Warszawa 1990. Przepisana prawie słowo w słowo, leży tak od 2001 roku. Markotek (dyskusja) 22:40, 12 lip 2008 (CEST)

Link do tej strony został dodany do Wikipedia:Lista NPA.

Wskazówki i informacje

Nie usuwaj tego szablonu. Zostanie on usunięty, jeżeli prawa autorskie tego artykułu zostaną wyjaśnione.
Jeżeli potrafisz, napisz artykuł tak, aby nie naruszał praw autorskich.
Jeżeli posiadasz prawa autorskie do tej treści lub posiadasz zgodę na publikację zgodną z naszą licencją, proszę, napisz o tym fakcie na stronie dyskusji tego artykułu i na stronie Wikipedia:Lista NPA oraz zastosuj procedurę zamieszczania haseł wcześniej opublikowanych.
Jeśli status praw autorskich tego artykułu nie zostanie wyjaśniony, strona ta zostanie usunięta.

Wklejanie materiałów chronionych prawami autorskimi – bez zezwolenia właściciela tych praw – jest pogwałceniem obowiązującego prawa, jest też sprzeczne z ustaleniami Wikipedii. Osobom, które regularnie wklejają takie materiały, może zostać odebrane prawo edycji Wikipedii.

edytuj Początek rozwoju. Pochodzenie nazwy

Słowo algebra pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego (VIII / IX wiek) Hisab al-dżabr wa'l-mukabala (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu) dotyczącego przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami. Początkowo, jak wskazuje pochodzenie jej nazwy, algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach liczbowych.

Wraz z opublikowaniem przez matematyka włoskiego Girolamo Cardano wzorów odkrytych przez innego Włocha Nicolo Tartaglię, nazwanych później wzorami Cardana, do zakresu algebry weszły równania trzeciego i czwartego stopnia.

edytuj Teoria Galois

Nieudane próby znalezienia wzorów na pierwiastki równań wyższych stopni zahamowały na pewien czas rozwój algebry w tym kierunku. Dopiero odkrycie w 1832 roku przez matematyka francuskiego Évariste'a Galois warunków koniecznych i dostatecznych na istnienie takich wzorów zapoczątkowało nowy kierunek badań noszący nazwę teorii Galois (kilka lat wcześniej matematyk norweski Niels Abel wykazał, że nie istnieją ogólne wzory na pierwiastki równań stopnia wyższego niż czwarty).

W roku 1591 matematyk francuski François Viète zastąpił współczynniki liczbowe występujące w równaniach literami i wykrył pewne zależności między pierwiastkami równania (bez znajdowania dla nich wzorów), a jego współczynnikami (tak zwane wzory Viète'a). Odtąd symbole literowe, występujące dotychczas tylko w geometrii, pojawiły się w arytmetyce.

edytuj Rachunek literowy

Wyrażenie za pomocą liter podstawowych własności działań arytmetycznych zapoczątkowało tak zwany rachunek literowy i wpłynęło na zmianę poglądu na algebrę: z nauki o rozwiązywaniu równań przekształciła się ona w naukę o działaniach na literach (tak właśnie rozumie się obecnie algebrę w nauczaniu szkolnym). Odtąd w algebrze obiektami były nie tylko liczby, ale także wielomiany i funkcje wymierne (ilorazy wielomianów) - wykonywano na nich operacje oraz rozkładano wielomiany na czynniki.

Z czasem określono w algebrze działania na innych obiektach nieliczbowych, np. na wektorach, macierzach czy zbiorach, pojawiły się odpowiednio algebra wektorów, algebra macierzy, algebra zbiorów i inne struktury algebraiczne.

edytuj Przykłady wyrażeń algebraicznych

$5 + c$ - suma,
$d - f$ – różnica,
$4 g$ lub $4\cdot g$ – iloczyn,
$2 a + 4 c$ – kombinacja liniowa lub iloczyn skalarny (w zależności od kontekstu),
$d \over k$ – iloraz,
$a 5$ - potęga,

edytuj Przykład przekształcenia wyrażenia algebraicznego

$4 d + 5 a + 9 d + 5 a = 13 d + 10 a$ – redukcja wyrazów podobnych.

edytuj Dalszy rozwój abstrakcyjności

Badanie własności działań w całkowitym oderwaniu od rodzaju obiektów, na których są one określone, stanowi dalszy etap w rozwoju algebry. Klasyfikacja zbiorów ze względu na własności określonych na nich działań wyłoniła wiele działów współczesnej matematyki. Jedna z tych teorii nosi nazwę teorii algebr liniowych (lub teorii algebr). Oznacza to, że algebrą został tu nazwany nie dział matematyki, lecz pewien obiekt matematyczny (zob. K-algebra); przykładem algebry liniowej jest zbiór wielomianów z dodawaniem i mnożeniem wielomianów oraz mnożeniem wielomianów przez liczby.

Dalszym krokiem w rozwoju algebry jest wprowadzenie pojęcia algebry ogólnej. Jest to para $(A, D)$ , gdzie $A$ jest dowolnym zbiorem, a $D$ zbiorem dowolnych operacji (funkcji) określonych na zbiorze $A$ . Dział matematyki zajmujący się algebrami ogólnymi nosi nazwę algebry uniwersalnej.

edytuj Podział

Niektóre działy algebry to:

algebra Boole'a
algebra homologiczna
algebra liniowa
teoria równań algebraicznych
teoria modułów
algebra topologiczna
algebra uniwersalna
algebra wieloliniowa
algebraiczna K-teoria
teoria monoidów i półgrup
teoria grup
teoria pierścieni
teoria pierścieni z dzieleniem (ciał nieprzemiennych)
teoria prawie ciał
teoria ciał
teoria algebr Clifforda
teoria algebr Jordana
teoria algebr Lie i grup Lie
geometria algebraiczna
teoria kategorii
teoria krat Birkhoffa
teoria kodów

edytuj Zobacz też

Zobacz publikację na Wikibooks:
Algebra abstrakcyjna

edytuj Linki zewnętrzne

Skrypt do przedmiotu Algebra I na wydziale MIMUW autorstwa A. Bojanowska, P. Traczyk (.ps)