Dylatacja.html



Ten artykuł dotyczy przekształcenia geometrycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Dylatacja – w matematyce odwzorowanie geometryczne przeprowadzającą dowolną prostą na prostą do niej równoległą.

edytuj Przykłady

Jedynymi przykładami dylatacji są

• przesunięcie i
• jednokładność.

Należy pamiętać, że oba przykłady obejmują odwzorowanie tożsamościowe jako przypadek szczególny, jednokładność zaś dodatkowo obrót o połowę kąta pełnego.

edytuj Własności

Złożenie dwóch dylatacji jest dylatacją. Ponieważ odwzorowanie tożsamościowe jest dylatacją i dla każdej dylatacji można znaleźć do niej odwrotną, to przekształcenia dylatacyjne tworzą grupę, tak w geometrii euklidesowej jak i afinicznej.

Jeżeli dylatacja ma punkt stały, to obrazem prostej przechodzącej przez ten punkt jest ta sama prosta. Jeżeli punkt P i jego obraz dylatacyjny P' nie pokrywają się (tzn. nie jest on stały), to obrazem prostej PP' jest ona sama.

Z powyższych własności można wyprowadzić klasyfikację dylatacji ze względu na liczbę punktów stałych. Jeżeli dylatacja

• ma co najmniej dwa punkty stałe, to jest identycznością,
• ma dokładnie jeden punkt stały, to jest jednokładnością,
• nie ma punktów stałych, to jest przesunięciem.

Dylatacje są przekształceniami afinicznymi (jeżeli jest ona jednokładnością, to nawet przekształceniem liniowym), przy czym ustalenie punktu A jako początku lub środka oraz liczby rzeczywistej c (być może ujemnej) określa dylatację, która przeprowadza dowolny punkt X na punkt X' tak, że zachodzi (rozumiany wektorowo) wzór

A − X' = c(A − X).

edytuj Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• podobieństwo,
• odbicie dylatacyjne.