Liczby Bernoulliego.html

Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako $\,{B_{k}}$ , gdzie $\,{k}$ jest numerem porządkowym liczby, k=0,1,2..., wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce "Ars Conjectandi" (wydanej po śmierci autora w roku 1713).Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: $110 + 2 10 + 3 10 + ... + 1000 10$ "w pół kwadransa". Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Liczby Bernoulliego - Definicja #1
- 1.2 Liczby Bernoulliego - Definicja #2
2 Wzór asymptotyczny
3 Przykłady zastosowań
4 Źródła

edytuj Definicja

Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza - podana niżej jako Definicja #1 i starsza - niżej cytowana jako Definicja #2, powoli wychodząca z użycia. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji #1 oznaczymy przez $, B k$ , a według definicji starszej (Definicja #2) - przez $B^{*}_{k}$ . Przy tym liczby $B^{*}_{k}$ stanowią podzbiór właściwy liczb $, B k$ .

edytuj Liczby Bernoulliego - Definicja #1

Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{B_{n}\cdot{x^{n}}}{n!}}$

Szereg powyższy jest zbieżny dla $| x | < 2π$ . Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:

$\sum_{k=0}^m {m+1 \choose k}\cdot B_{k}=0$

gdzie $\,{B_{0}=1}$

Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego, o indeksach nieparzystych większych od 2, są równe 0.

Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.

Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od $\,{B_0}$ : $1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6},0,-\frac{1}{30},0,\frac{1}{42},0,-\frac{1}{30},0,\frac{5}{66},0,-\frac{691}{2730},0,\frac{7}{6},0,-\frac{3617}{510},0,\frac{43867}{798},0,-\frac{174611}{330},\ldots$

edytuj Liczby Bernoulliego - Definicja #2

Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

$1-\frac{x}{2}\operatorname{ctg}(\frac{x}{2})=\frac{B^{*}_{1}\cdot{x^{2}}}{2!}+\frac{B^{*}_{2}\cdot{x^{4}}}{4!}+\frac{B^{*}_{3}\cdot{x^{6}}}{6!}+\ldots$

Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od $\,{B^{*}_1}$ :

$\frac{1}{6},\frac{1}{30},\frac{1}{42},\frac{1}{30},\frac{5}{66},\frac{691}{2730},\frac{7}{6},\frac{3617}{510},\frac{43867}{798},\frac{174611}{330},\frac{854513}{138},\ldots$

Powiązanie pomiędzy liczbami $B^{*}_{n}$ i $\,{B_{n}}$ opisuje poniższy wzór:

$\,{B_{n}}=\begin{cases} 1,&\mbox{dla } n=0\\ -\frac{1}{2},&\mbox{dla } n=1\\ (-1)^{(\frac{n}{2})-1}\cdot{B^{*}_{\frac{n}{2}}},&\mbox{dla } n \mbox{ parzystych}\\ 0,&\mbox{dla } n \mbox{ nieparzystych} \end{cases}$

edytuj Wzór asymptotyczny

Wykorzystując wzór Stirlinga otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:

$\,{B_{n}}\approx (-1)^{n-1}\cdot 4 \cdot\sqrt{\pi\cdot n}\cdot\left(\frac{n}{\pi{e}}\right)^{2n}$

edytuj Przykłady zastosowań

Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak $\mathrm{tg}\,{x}, \mathrm{ctg}\,{x}, \mathrm{tgh}\,{x}, {{x}\over{e^{x}-1}}, \ln|\sin(x)|$ i w innych.

Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:

$\sum^{n}_{j=1}{j^k}=\frac{1}{k+1}\cdot\left[n^{k+1}+{{k+1}\choose{1}}\,{B_{1}}n^{k}+{{k+1}\choose{2}}\,{B_{2}}n^{k-1}+\cdots+{{k+1}\choose{k}}\,{B_{k}}n\right]$

Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera:

$\zeta(2k)=\sum_{n=1}^{\infty}{{1}\over{n^{2k}}} = {{\pi^{2k}2^{2k-1}}\over{(2k)!}}B_k$

W szczególności wynika stąd, że

$\sum^{\infty}_{n=1}{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}$

Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:

$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}}{{1}\over{n^{2k}}} = {{\pi^{2k}(2^{2k-1}-1)}\over{(2k)!}}B_k$

Liczby Bernoulliego badano też m. in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi. Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.

edytuj Źródła

Paulo Ribenboim, Mała księga wielkich liczb pierwszych, Warszawa, WNT 1997 ISBN 83-204-2201-9
J.H. Conway, R.K. Guy, Księga liczb, Warszawa, WNT 1999 ISBN 83-204-2366-X
R.L. Graham,D.E.Knuth, O. Patashnik Matematyka konkretna, §6.5.: Liczby Bernoulliego, Warszawa, PWN 2006 ISBN 83-01-14764-4
Strona w serwisie Mathworld (po angielsku)