Teoria relativităţii restrânse.html

Relativitatea restrânsă (Teoria relativităţii restrânse sau teoria restrânsă a relativităţii) este teoria fizică a măsurării în sistemele de referinţă inerţiale propusă în 1905 de către Albert Einstein în articolul său "Despre electrodinamica corpurilor în mişcare". Ea generalizează principiul relativităţii al lui Galilei — care spunea că toate mişcările uniforme sunt relative, şi că nu există stare de repaus absolută şi bine definită (nu există sistem de referinţă privilegiat) — de la mecanică la toate legile fizicii, inclusiv electrodinamica.

Pentru a evidenţia acest lucru, Einstein nu s-a oprit la a lărgi postulatul relativităţii, ci a adăugat un al doilea postulat: acela că toţi observatorii vor obţine aceeaşi valoare pentru viteza luminii indiferent de starea lor de mişcare uniformă şi rectilinie.^[1]

Această teorie are o serie de consecinţe surprinzătoare şi contraintuitive, dar care au fost de atunci verificate pe cale experimentală. Relativitatea restrânsă răstoarnă noţiunile newtoniene de spaţiu şi timp afirmând că timpul şi spaţiul sunt percepute diferit în sensul că măsurătorile privind lungimea şi intervalele de timp depind de starea de mişcare a observatorului. Rezultă de aici echivalenţa dintre materie şi energie, exprimată în formula de echivalenţă a masei şi energiei E = mc², unde c este viteza luminii în vid. Relativitatea restrânsă este o generalizare a mecanicii newtoniene, aceasta din urmă fiind o aproximaţie a relativităţii restrânse pentru experimente în care vitezele sunt mici în comparaţie cu viteza luminii.

Teoria a fost numită "restrânsă" deoarece aplică principiul relativităţii doar la sisteme inerţiale. Einstein a dezvoltat relativitatea generalizată care aplică principiul general, oricărui sistem de referinţă, şi acea teorie include şi efectele gravitaţiei. Relativitatea restrânsă nu ţine cont de gravitaţie, dar tratează acceleraţia.

Deşi teoria relativităţii restrânse face anumite cantităţi relative, cum ar fi timpul, pe care ni l-am fi imaginat ca fiind absolut, pe baza experienţei de zi cu zi, face absolute unele cantităţi pe care le-am fi crezut altfel relative. În particular, se spune în teoria relativităţii că viteza luminii este aceeaşi pentru toţi observatorii, chiar dacă ei sunt în mişcare unul faţă de celălalt. Relativitatea restrânsă dezvăluie faptul că c nu este doar viteza unui anumit fenomen - propagarea luminii - ci o trăsătură fundamentală a felului în care sunt legate între ele spaţiul şi timpul. În particular, relativitatea restrânsă afirmă că este imposibil ca un obiect material să fie accelerat până la viteza luminii.

Cuprins

1 Postulate
2 Lipsa unui sistem de referinţă absolut
3 Consecinţe
4 Sisteme de referinţă, coordonate şi transformarea Lorentz
5 Simultaneitatea
6 Dilataţia timpului şi contracţia lungimilor
7 Cauzalitatea şi imposibilitatea depăşirii vitezei luminii
8 Compunerea vitezelor
9 Masa, impulsul şi energia
10 Masa relativistă
11 Forţa
12 Geometria spaţiu-timpului
13 Fizica spaţiu-timpului
- 13.1 Metrica şi transformările de coordonate
14 Statutul teoriei
15 Note

modifică Postulate

Primul postulat - Principiul relativităţii restrânse - Legile fizicii sunt aceleaşi în orice sistem de referinţă inerţial. Cu alte cuvinte, nu există sistem de referinţă inerţial privilegiat.
Al doilea postulat - Invarianţa lui c - Viteza luminii în vid este o constantă universală, c, independentă de mişcarea sursei de lumină.

Puterea argumentului lui Einstein reiese din maniera în care a dedus nişte rezultate surprinzătoare şi aparent incredibile din două presupuneri simple bazate pe analiza observaţiilor. Un observator care încearcă să măsoare viteza de propagare a luminii va obţine exact acelaşi rezultat indiferent de cum se mişcă componentele sistemului.

modifică Lipsa unui sistem de referinţă absolut

Principiul relativităţii, care afirmă că nu există sistem de referinţă staţionar, datează de pe vremea lui Galileo Galilei, şi a fost inclus în fizica newtoniană. Însă, spre sfârşitul secolului al XIX-lea, existenţa undelor electromagnetice a condus unii fizicieni să sugereze că universul este umplut cu o substanţă numită "eter", care ar acţiona ca mediu de propagare al acestor unde. Se credea că eterul constituie un sistem de referinţă absolut faţă de care se pot măsura vitezele. Cu alte cuvinte, eterul era singurul lucru fix şi nemişcat din univers. Se presupunea că eterul are nişte proprietăţi extraordinare: era destul de elastic pentru a suporta unde electromagetice, iar aceste unde puteau interacţiona cu materia, dar acelaşi eter nu opunea rezistenţă corpurilor care treceau prin el. Rezultatele diferitelor experimente, în special experienţa Michelson-Morley, au indicat că Pământul este mereu în repaus în raport cu eterul — ceva dificil de explicat, deoarece Pământul era pe orbită în jurul Soarelui. Soluţia elegantă dată de Einstein avea să elimine noţiunea de eter şi de stare de repaus absolută. Relativitatea restrânsă este formulată de aşa natură încât să nu presupună că vreun sistem de referinţă este special; în schimb, în relativitate, orice sistem de referinţă în mişcare uniformă va respecta aceleaşi legi ale fizicii. În particular, viteza luminii în vid este mereu măsurată ca fiind c, chiar şi măsurată din sisteme multiple, mişcându-se cu viteze diferite, dar constante.

modifică Consecinţe

Einstein a spus că toate consecinţele relativităţii restrânse pot fi derivate din examinarea transformărilor Lorentz.

Aceste transformări, şi deci teoria relativităţii restrânse, a condus la predicţii fizice diferite de cele date de mecanica newtoniană atunci când vitezele relative se apropie de viteza luminii. Viteza luminii este atât de mult mai mare decât orice viteză întâlnită de oameni încât unele efecte ale relativităţii sunt la început contraintuitive:

Dilatarea temporală — timpul scurs între două evenimente nu este invariant de la un observator la altul, dar el depinde de mişcarea relativă a sistemelor de referinţă ale observatorilor (ca în paradoxul gemenilor care implică plecarea unui frate geamăn cu o navă spaţială care se deplasează la viteză aproape de cea a luminii şi faptul că la întoarcere constată că fratele său geamăn a îmbătrânit mai mult).
Relativitatea simultaneităţii — două evenimente ce au loc în două locaţii diferite, care au loc simultan pentru un observator, ar putea apărea ca având loc la momente diferite pentru un alt observator (lipsa simultaneităţii absolute).
Contracţia Lorentz — dimensiunile (de exemplu lungimea) unui obiect măsurate de un observator pot fi mai mici decât rezultatele aceloraşi măsurători efectuate de un alt observator (de exemplu, paradoxul scării implică o scară lungă care se deplasează cu viteză apropiată de cea a luminii şi ţinută într-un garaj mai mic).
Compunerea vitezelor — vitezele nu se adună pur şi simplu, de exemplu dacă o rachetă se mişcă la ⅔ din viteza luminii pentru un observator, şi din ea pleacă o altă rachetă la ⅔ din viteza luminii relativ la racheta iniţială, a doua rachetă nu depăşeşte viteza luminii în raport cu observatorul. (În acest exemplu, observatorul vede racheta a doua ca deplasându-se cu 12/13 din viteza luminii.)
Inerţia şi impulsul — când viteza unui obiect se apropie de cea a luminii din punctul de vedere al unui observator, masa obiectului pare să crească făcând astfel mai dificilă accelerarea sa în sistemul de referinţă al observatorului.
Echivalenţa masei şi energiei, E = mc² — Energia înmagazinată de un obiect în repaus cu masa m este egală cu $m c 2$ . Conservarea energiei implică faptul că în orice reacţie, o scădere a sumei maselor particulelor trebuie să fie însoţită de o creştere a energiilor cinetice ale particulelor după reacţie. Similar, masa unui obiect poate fi mărită prin absorbţia de către acesta de energie cinetică.

modifică Sisteme de referinţă, coordonate şi transformarea Lorentz

Diagrama 1. Modificarea percepţiei spaţiu-timpului de-a lungul liniei de univers a unui observator care accelerează rapid.

În această animaţie, direcţia verticală indică timpul iar cea orizontală indică distanţa, linia punctată este traiectoria spaţiu-timp ("linia de univers") a observatorului. Sfertul inferior al diagramei arată evenimentele vizibile pentru observator, iar sfertul superior arată conul de lumină- cei care pot vedea observatorul. Punctele mici sunt evenimente arbitrare din spaţiu-timp.

Panta liniei de univers (deviaţia de la verticală) dă viteza relativă faţă de observator. De observat cum percepţia spaţiu-timpului se modifică atunci când observatorul accelerează.

Teoria relativităţii depinde de "sisteme de referinţă". Un sistem de referinţă este o perspectivă observaţională în spaţiu în repaus sau în mişcare uniformă, de unde se poate măsura o poziţie de-a lungul a 3 axe spaţiale. În plus, un sistem de referinţă are abilitatea de a determina măsurătorile evenimentelor în timp, folosind un 'ceas' (orice dispozitiv de referinţă cu periodicitate uniformă).

Un eveniment este un lucru căruia i se poate asigna un moment în timp şi o locaţie în spaţiu unice în raport cu un sistem de referinţă: este un "punct" în spaţiu-timp. Deoarece viteza luminii este constantă în teoria relativităţii în orice sistem de referinţă, impulsurile luminoase pot fi folosite pentru a măsura neambiguu distanţele şi a da timpuu la care evenimentele au avut loc pentru ceasul sistemului, deşi lumina are nevoie de timp pentru a ajunge la ceas după ce evenimentul a trecut.

De exemplu, explozia unei petarde poate fi considerată un "eveniment". Putem specifica complet un eveniment prin cele patru coordonate spaţiu-timp: Momentul la care a avut loc şi locaţia spaţială în 3 dimensiuni definesc un punct de referinţă. Să numim acest sistem de referinţă S.

În teoria relativităţii se doreşte adesea calcularea poziţiei unui punct dintr-un alt sistem de referinţă.

Să presupunem că avem un al doilea sistem de referinţă S', ale cărui axe spaţiale şi ceas coincid exact cu ale lui S la momentul zero, dar care se mişcă cu o viteză constantă $v\,$ în raport cu S în jurul axei $x\,$ .

Deoarece nu există sistem de referinţă absolut în teoria relativităţii, conceptul de "în mişcare" nu există în sens strict, întrucât toate sunt mereu în mişcare în raport cu alte sisteme de referinţă.

Să definim evenimentul de coordonate spaţiu-timp $(t, x, y, z)\,$ în sistemul S şi $(t', x', y', z')\,$ în S'. Atunci transformările Lorentz specifică faptul că aceste coordonate sunt legate în felul următor:

$t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)$

$x' = \gamma (x - v t)\,$

$y' = y\,$

$z' = z\,$

unde $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ se numeşte factor Lorentz şi $c\,$ este viteza luminii în vid.

Coordonatele $y\,$ şi $z\,$ nu sunt afectate, dar axele $x\,$ şi $t\,$ sunt implicate în transformare. Într-un fel, această transformare poate fi înţeleasă ca o rotaţie hiperbolică.

modifică Simultaneitatea

Din prima ecuaţie a transformărilor Lorentz în termeni de diferenţe de coordonate

$\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right)$

este clar că două evenimente care sunt simultane în sistemul de referinţă S (satisfăcând $\Delta t = 0\,$ ), nu sunt neapărat simultane în alt sistem inerţial S' (satisfăcând $\Delta t' = 0\,$ ). Doar dacă aceste evenimente sunt colocale în sistemul S (satisfăcând $\Delta x = 0\,$ ), atunci ele vor fi simultane şi în S'.

modifică Dilataţia timpului şi contracţia lungimilor

Scriind transformarea Lorentz şi inversa sa în termenii diferenţelor de coordonate, se obţine

$\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^{2}} \right)$

$\Delta x' = \gamma (\Delta x - v \Delta t)\,$

şi

$\Delta t = \gamma \left(\Delta t' + \frac{v \Delta x'}{c^{2}} \right)$

$\Delta x = \gamma (\Delta x' + v \Delta t')\,$

Să presupunem că avem un ceas în repaus în sistemul S. Două bătăi consecutive ale acestui ceas sunt caracterizate prin $Δ x = 0$ . Dacă vrem să ştim relaţia dintre timpii dintre aceste bătăi măsurate în ambele sisteme, putem folosi prima ecuaţie şi obţinem:

$\Delta t' = \gamma \Delta t \qquad ( \,$ pentru evenimentele care satisfac condiţia $\Delta x = 0 )\,$

Aceasta arată că durata de timp $Δ t'$ între două bătăi ale ceasului, văzute în sistemul în mişcare S' este mai mare decât durata de timp $Δ t$ dintre aceleaşi bătăi măsurate în sistemul în care ceasul este în repaus. Acest fenomen se numeşte dilatare temporală.

Similar, presupunem că avem un etalon de lungime în repaus în sistemul S. În acest sistem, lungimea etalonului este scrisă ca $Δ x$ . Dacă dorim să aflăm lungimea acestui etalon, ca măsurată în sistemul în mişcare S', trebuie să se asigurăm că măsurăm distanţele $x'$ între capetele etalonului simultan în sistemul S'. Cu alte cuvinte, măsurarea este caracterizată prin $Δ t' = 0$ , pe care o putem combina cu a patra ecuaţie pentru a găsi relaţia dintre lungimile $Δ x$ şi $Δ x'$ :

$\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma} \qquad ( \,$ pentru evenimente care satisfac $\Delta t' = 0 )\,$

Aceasta arată că lungimea $Δ x'$ a etalonului măsurată în sistemul în mişcare S' este mai mică decât lungimea $Δ x$ în sistemul faţă de care se află în repaus. Acest fenomen se numeşte contracţia lungimii sau contracţie Lorentz.

Aceste efect nu sunt doar aparente; ele sunt legate explicit de felul în care măsurăm intervalele de timp între evenimente care au loc în acelaşi loc într-un sistem de coordonate dat (numite evenimente "co-locale"). Aceste intervale de timp vor fi diferite într-un alt sistem de coordonate, în mişcare în raport cu primul, dacă evenimentele nu sunt simultane. Similar, aceste efecte leagă de distanţele măsurate între evenimente separate dar simultane într-un sistem de coordonate dat. Dacă aceste evenimente nu sunt co-locale, ci separate de distanţă (spaţiu), ele nu vor avea loc la aceeaşi distanţă spaţială unul de celălalt când vor fi văzute din alt sistem de coordonate în mişcare.

modifică Cauzalitatea şi imposibilitatea depăşirii vitezei luminii

Diagrama 2. Conul de lumină

În diagrama 2, intervalul AB este temporal; cu alte cuvinte, există un sistem de referinţă în care evenimentul A şi evenimentul B au loc în aceeaşi poziţie în spaţiu, şi sunt separate doar de faptul că au loc la momente de timp diferite. Dacă A precede B în acel sistem de referinţă, atunci A precede B în toate sistemele de referinţă. Ipotetic, este posibil ca materia (sau informaţia) să călătorească de la A la B, astfel că poate exista o relaţie cauzală între ele (A fiind cauza, iar B efectul).

Intervalul AC din diagramă este 'spaţial'; cu alte cuvinte, există un sistem de referinţă în care evenimentul A şi evenimentul C au loc simultan, fiind separate doar de o distanţă în spaţiu. Însă există şi sisteme în care A precede C (după cum se vede) şi sisteme în care C precede A. Dacă ar fi posibilă o relaţie de tip cauză-efect între evenimentele A şi C, atunci ar rezulta paradoxuri ale cauzalităţii. De exemplu, dacă A este cauza, iar C efectul, atunci ar exista sisteme de referinţă în care efectul precede cauza. Deşi acest fapt singur nu dă naştere vreunui paradox, se poate arăta ^[2] ^[3] că se pot trimite semnalele cu viteză mai mare decât a luminii în trecut. Atunci se poate construi un paradox cauzal trimiţând semnalul dacă şi numai dacă anterior nu s-a primit niciun semnal.

Astfel, una din consecinţele relativităţii restrânse este că (presupunând că se păstrează cauzalitatea), nicio informaţie şi niciun obiect material nu pot călători mai repede decât lumina. Pe de altă parte, situaţia logică nu mai este aşa de clară în cazul relativităţii generalizate, deci rămâne o întrebare deschisă dacă există vreun principiu fundamental care păstrează cauzalitatea (şi deci previne mişcarea cu viteză mai mare decât a luminii) în relativitatea generalizată.

Chiar fără a lua în calcul cauzalitatea, sunt alte motive puternice pentru care călătoria cu viteză peste cea a luminii este interzisă de relativitatea restrânsă. De exemplu, dacă se aplică o forţă constantă asupra unui obiect pentru o perioadă nelimitată de timp, atunci integrând $F\,=\,\frac{dp}{dt}$ rezultă un impuls care creşte nelimitat, dar aceasta se întâmplă doar pentru că $p = m γ v$ tinde la infinit când v tinde la c. Pentru un observator care nu accelerează, pare că inerţia obiectului creşte, producând o acceleraţie mai mică pentru aceeaşi forţă aplicată. Acest comportament este observat în acceleratoarele de particule.

modifică Compunerea vitezelor

Dacă observatorul din $S\!$ vede un obiect care se mişcă de-a lungul axei $x\!$ cu viteza $w\!$ , atunci observatorul din sistemul $S'\!$ , un sistem de referinţă ce se mişcă la viteza $v\!$ în direcţia $x\!$ în raport cu $S\!$ , va vedea obiectul mişcându-se cu viteza $w'\!$ unde

$w'=\frac{w-v}{1-wv/c^2}.$

Această ecuaţie poate fi derivată din transformările spaţială şi temporală de mai sus. De observat că dacă obiectul s-ar mişca cu viteza luminii în sistemul $S\!$ (adică $w=c\!$ ), atunci el s-ar mişca cu viteza luminii şi în sistemul $S'\!$ . De asemenea, dacă $w\!$ şi $v\!$ sunt mici în raport cu viteza luminii, se recuperează transformările galileiene ale vitezelor: $w' \approx w-v\!.$

modifică Masa, impulsul şi energia

În plus faţă de modificarea noţiunilor de spaţiu şi timp, relativitatea restrânsă forţează reconsiderarea conceptelor de masă, impuls şi energie, toate fiind concepte de bază în mecanica newtoniană. Relativitatea restrânsă arată că, de fapt, aceste concepte sunt toate diferite aspecte ale aceleiaşi cantităţi fizice cam în acelaşi fel în care arată că spaţiul şi timpul sunt interconectate.

Există câteva moduri echivalente de a defini impulsul şi energia în relativitatea restrânsă. O metodă foloseşte legile de conservare. Dacă aceste legi rămân valide în teoria relativităţii restrânse, ele trebuie să fie adevărate în orice sistem de referinţă posibil. Însă, dacă se fac nişte simple experimente imaginare folosind definiţiile newtoniene ale impulsului şi energiei, se vede că aceste cantităţi nu se conservă în relativitatea restrânsă. Ideea de conservare se poate salva făcând câteva mici modificări ale definiţiilor acestora pentru a ţine cont de vitezele relativiste. În teoria relativităţii, aceste definiţii sunt considerate definiţii corecte pentru impuls şi energie.

Dat fiind un obiect cu masa invariantă m călătorind cu viteza v energia şi impulsul lui sunt date (şi definite) de

$E = \gamma m c^2 \,\!$

$\vec p = \gamma m \vec v \,\!$

unde γ (Factorul Lorentz) este dat de

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$

unde $β$ raportul dintre viteză şi viteza luminii. Termenul γ apare frecvent în relativitate, şi vine din ecuaţiile transformărilor Lorentz.

Energia relativistă şi impulsul relativist sunt legate prin relaţia

$E^2 - (p c)^2 = (m c^2)^2 \,\!$

numită şi ecuaţia relativistă energie-impuls. Este interesant de observat că în timp ce energia $E\,$ şi impulsul $p\,$ sunt dependente de observator (variază de la un sistem de referinţă la altul) cantitatea $E^2 - (p c)^2 = (m c^2)^2 \,\!$ este independentă de observator.

Pentru viteze mult mai mici decât a luminii, γ poate fi aproximat folosind o dezvoltare în serie Taylor din care rezultă

$E \approx m c^2 + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} m v^2 \,\!$

$\vec p \approx m \vec v \,\!$

Eliminând primul termen din expresia energiei, aceste formule sunt exact definiţiile standard ale energiei cinetice şi impulsului. Aşa şi trebuie să fie, deoarece mecanica newtoniană este o aproximaţie a relativităţii restrânse pentru viteze mici.

Privind formula de mai sus, a energiei, se vede că atunci când un obiect este în repaus (v = 0 şi γ = 1) rămâne o energie diferită de zero:

$E_{rest} = m c^2 \,\!$

Această energie este denumită energia stării de repaus. Energia stării de repaus nu cauzează niciun conflict cu teoria newtoniană deoarece este constantă şi, din punctul de vedere al energiei cinetice, doar diferenţele de energie au semnificaţie.

Interpretând această formulă, se poate concluziona că în teoria relativităţii masa este doar o altă formă a energiei. În 1927 Einstein a făcut următoarea remarcă privind relativitatea restrânsă:

În această teorie, masa nu este o mărime nealterabilă, ci o mărime dependentă de (şi, într-adevăr, identică cu) cantitatea de energie.^[4]

Această formulă devine importantă când se măsoară masele diferiţilor nuclei atomici. Privind diferenţele de masă, se poate prezice care nuclei au energie suplimentară stocată şi care poate fi eliberată prin reacţii nucleare, oferind informaţii importante utile în dezvoltarea energiei nucleare şi, în consecinţă, a bombei nucleare.

modifică Masa relativistă

Cursurile de fizică introductivă, precum şi unele manuale mai vechi despre teoria relativităţii restrânse definesc o masă relativistă care creşte cu creşterea vitezei unui corp. Conform interpretării geometrice a relativităţii restrânse, această definiţie nu se mai foloseşte, iar termenul "masă" este limitat la noţiunea de masă de repaus fiind astfel independentă de sistemul de referinţă.

Folosind definiţia relativistă a masei, masa unui obiect poate varia în funcţie de sistemul de referinţă inerţial al observatorului, în acelaşi fel în care alte proprietăţi ale sale, cum ar fi lungimea, fac acelaşi lucru. Definirea unei astfel de cantităţi poate fi uneori utilă prin faptul că această definire simplifică un calcul restricţionându-l la un anumit sistem de referinţă. De exemplu, considerând un corp cu masa de repaus m care se mişcă la o anumită viteză relativ la un sistem de referinţă al observatorului. Acel observator defineşte masa relativistă a corpului ca fiind:

$M = \gamma m\!$

"Masa relativistă" nu trebuie să fie confundată cu "masa longitudinală" şi cea "transversală", definite şi utilizate în preajma anului 1900 şi bazate pe o aplicare inconsistentă a legilor lui Newton: acestea foloseau f=ma pentru o masă variabilă, pe când masa relativistă corespunde masei dinamice a lui Newton în care p=Mv şi f=dp/dt.

Se observă şi faptul că corpul nu devine mai masiv în sistemul său propriu de referinţă, deoarece masa relativistă este diferită doar pentru un observator dintr-un alt sistem. Singura masă independentă de sistemul de referinţă este masa de repaus. Când se foloseşte masa relativistă, trebuie să se specifice şi sistemul de referinţă aplicabil dacă nu este evident, sau dedus implicit din formularea problemei. Este evident şi că creşterea de masă relativistă nu rezultă din creşterea numărului de atomi al obiectului. În schimb, masa relativistă a fiecărui atom şi particulă subatomică creşte ea însăşi.

Manualele de fizică folosesc uneori masa relativistă, deoarece ea permite studenţilor să utilizeze cunoştinţele lor de fizică newtoniană pentru a face mai intuitive anumite concepte, restrângându-le la anumite sisteme de referinţă alese. "Masa relativistă" este consistentă şi cu conceptele de "dilatare temporală" şi "contracţie a lungimii".

modifică Forţa

Definiţia clasică a forţei f este dată de Legea a doua a lui Newton în forma ei originală:

$\vec f = \frac{d\vec p}{dt}$

şi aceasta este valabilă în teoria relativităţii.

Multe manuale moderne rescriu Legea a doua a lui Newton sub forma

$\vec f = M \vec a$

Această formă nu este valabilă în teoria relativităţii sau în alte situaţii în care masa relativistă M este variabilă.

Această formulă poate fi înlocuită în cazul relativist cu

$\vec f = \gamma m \vec a + \gamma^3 m \frac{\vec v \cdot \vec a}{c^2} \vec v$

După cum se vede din ecuaţie, vectorii clasici forţă şi acceleraţie nu mai sunt neapărat paraleli în teoria relativităţii.

Totuşi expresia tetradimensională care leagă tetraforţa $F^\mu\,$ cu masa de repaus m şi tetraacceleraţia $A^\mu\,$ restaurează aceeaşi formă a ecuaţiei

$F^\mu = mA^\mu\,$

modifică Geometria spaţiu-timpului

Pentru detalii, vezi articolul Spaţiu Minkowskivezi articolele [[{{{2}}}]] şi [[{{{3}}}]]vezi articolele [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] şi [[{{{6}}}]]vezi articolele [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] şi [[{{{10}}}]].

În teoria relativităţii se foloseşte un spaţiu Minkowski tetradimensional plat, care este un exemplu de spaţiu-timp. Acest spaţiu, însă, este foarte similar cu spaţiul tridimensional euclidian standard, şi astfel este uşor de lucrat cu el.

Diferenţiala distanţei (ds) în spaţiul cartezian 3D este definită ca:

$ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2$

unde $(d x 1, d x 2, d x 3)$ sunt diferenţialele celor trei dimensiuni spaţiale. În geometria relativităţii restrânse, se adaugă o a patra dimensiune, derivată din timp, şi astfel ecuaţia diferenţialei distanţei devine:

$ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2$

Dacă se doreşte să se facă şi coordonata timpului să arate ca şi cele spaţiale, se poate trata timpul ca fiind imaginar: x₄ = ict. În acest caz, ecuaţia de mai sus devine simetrică:

$ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 + dx_4^2$

Aceasta sugerează ceea ce de fapt este o concluzie teoretică profundă, care arată că teoria relativităţiieste doar o simetrie de rotaţie a spaţiu-timpului nostru, foarte simialră cu simetria de rotaţie a spaţiului euclidian. Aşa cum spaţiul euclidian foloseşte o metrică euclidiană, şi spaţiul timpul foloseşte o metrică Minkowski. În esenţă, relativitatea restrânsă poate fi enunţată în termenii invarianţei intervalului spaţiu-timp (dintre oricare două evenimente) ca văzut din orice sistem de referinţă inerţial. Toate ecuaţiile şi efectele relativităţii restrânse pot fi deduse din această simetrie de rotaţie (grup Poincaré) a spaţiu-timpului Minkowski. Misner (1971 §2.3), În cele din urmă, profunda înţelegere a relativităţii restrânse şi a celei generale vor veni din studiul metricii Minkowski (descrisă mai jos) şi nu din cel al unei metrici euclidiene "deghizate" folosind ict drept coordonată temporală.

Dacă reducem la 2 numărul dimensiunilor spaţiale, pentru a putea reprezenta fizica într-un spaţiu 3D

$ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2$

vedem că liniile geodezice nule se află de-a lungul unui con definit de ecuaţia

$ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 - c^2 dt^2$

$dx_1^2 + dx_2^2 = c^2 dt^2$

Adică ecuaţia unui cerc de rază r=c×dt. Dacă extindem aceasta la dimensiuni spaţiale 3D, geodezicele nule se află pe un con tetradimensional:

$ds^2 = 0 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2$

$dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 = c^2 dt^2$

Acest con dual reprezintă "raza vizuală" a unui punct din spaţiu. Adică atunci când privim stelele şi spunem "Lumina pe care o recepţionez de la stea este veche de X ani", privim până la limita acestei raze vizuale: o geodezică nulă. Privim un eveniment la o distanţă de $d = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ metri ce a avut loc cu d/c secunde în urmă. Din acest motiv, conul dual nul este numit şi 'con de lumină'.

Conul din regiunea -t este informaţia pe care acel punct o primeşte, iar conul din secţiunea +t este informaţia pe care acel punct o trimite.

Geometria spaţiului Minkowski poate fi descrisă printr-o diagramă Minkowski, utilă în înţelegerea multor experimente imaginare din teoria relativităţii restrânse.

modifică Fizica spaţiu-timpului

Poziţia unui eveniment în spaţiu-timp este dată de un tetravector contravariant ale cărui componente sunt:

$x^\nu=\left(t, x, y, z\right)$

Adică, $x 0 = t$ , $x 1 = x$ , $x 2 = y$ şi $x 3 = z$ . La exponent sunt indicii contravarianţi şi nu puteri. La indice sunt indicii covarianţi, de la zero la trei. Gradientul în spaţiu-timp al unui câmp φ este:

$\partial_0 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t}, \quad \partial_1 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad \partial_2 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial y}, \quad \partial_3 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial z}.$

modifică Metrica şi transformările de coordonate

După ce a fost identificată natura tetradimensională a spaţiu-timpului, se foloseşte metrica Minkowski, η, dată pe componente (valide în orice sistem de referinţă inerţial) ca:

$\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Inversa ei este:

$\eta^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -1/c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Transformările de coordonate între sisteme de referinţă inerţiale sunt date de tensorul transformărilor Lorentz Λ. Pentru cazul special al mişcării de-a lungul axei x, avem:

$\Lambda^{\mu'}{}_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\ -\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

adică matricea de rotaţie de la coordonatele x la t. μ' indică rândul şi ν indică coloana. De asemenea, β şi γ sunt definite ca:

$\beta = \frac{v}{c},\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$

Mai general, o transformare de la un sistem inerţial (ignorând translaţiile, pentru simplitate) la un altul trebuie să satisfacă condiţia:

$\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu'\nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\alpha \Lambda^{\nu'}{}_\beta \!$

unde este implicită suma lui $\mu' \!$ şi $\nu' \!$ de la 0 la 3 în partea dreaptă a ecuaţiei, conform notaţiei Einstein pentru sume. Grupul Poincaré este cel mai general grup de transformări care păstrează metrica Minkowski şi reprezintă simetria fizică ce stă la baza relativităţii restrânse.

Toate cantităţile fizice sunt date ca tensori. Pentru a trece dintr-un sistem în altul, se foloseşte legea transformărilor tensoriale

$T^{\left[i_1',i_2',...i_p'\right]}_{\left[j_1',j_2',...j_q'\right]} = \Lambda^{i_1'}{}_{i_1}\Lambda^{i_2'}{}_{i_2}...\Lambda^{i_p'}{}_{i_p} \Lambda_{j_1'}{}^{j_1}\Lambda_{j_2'}{}^{j_2}...\Lambda_{j_q'}{}^{j_q} T^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]}$

unde $\Lambda_{j_k'}{}^{j_k} \!$ este matricea inversă a lui $\Lambda^{j_k'}{}_{j_k} \!$ .

Pentru a vedea utilitatea acesteia, transformăm poziţia unui eveniment de la un sistem de coordonate S la un sistem S', calculând

$\begin{pmatrix} t'\\ x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = x^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_\nu x^\nu= \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\ -\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma t- \gamma\beta x/c\\ \gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z \end{pmatrix}$

care este chiar transformarea Lorentz dată mai sus. Toţi tensorii se transformă după aceeaşi regulă.

Tetravectorul pătratelor diferenţialelor distanţelor $dx^\mu \!$ construit folosind

$\mathbf{dx}^2 = \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = -(c \cdot dt)^2+(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2\,$

este invariant. Faptul că este invariant înseamnă că are aceeaşi valoare în toate sistemele inerţiale, deoarece este un scalar (tensor de rang 0), şi astfel Λ nu apare în transformarea sa trivială. De observat că atunci când elementul $\mathbf{dx}^2$ este negativ, $d\tau=\sqrt{-\mathbf{dx}^2} / c$ este diferenţiala timpului propriu, iar când $\mathbf{dx}^2$ este pozitiv, $\sqrt{\mathbf{dx}^2}$ este diferenţiala distanţei proprii.

Utilitatea principală a exprimării ecuaţiilor fizicii în formă tensorială este că atunci sunt invariante în raport cu grupul Poincaré, astfel că nu avem de-a face cu un calcul special şi dificil pentru a verifica aceasta. De asemenea, la construirea acestor ecuaţii adesea găsim că alte ecuaţii despre care anterior credeam că nu au nicio legătură cu ele sunt, de fapt, strâns legate, ca făcând parte din aceeaşi ecuaţie tensorială.

modifică Statutul teoriei

Relativitatea restrânsă este exactă doar când potenţialul gravitaţional este mult mai mic ca c²; într-un câmp gravitaţional puternic trebuie să se folosească teoria relativităţii generalizate (care este, la limită, echivalentă cu cea restrânsă pentru câmpuri gravitaţionale slabe). La scară foarte mică (la lungimi de ordinul distanţei Planck şi mai mici) trebuie să fie luate în calcul şi efectele cuantice, de unde rezultă gravitaţia cuantică. Totuşi, la nivel macroscopic şi în absenţa câmpurilor gravitaţionale puternice, relativitatea restrânsă a fost testată experimental, obţinându-se un grad extrem de înalt de precizie (10^-20) ^[5] ^[6] şi astfel este acceptată de comunitatea fizicienilor. Rezultatele experimentale care par să o contrazică nu sunt reproductibile şi sunt considerate a se datora erorilor experimentale.

Datorită libertăţii pe care o acordă teoria de a alege cum să se definească unităţile de distanţă şi timp în fizică, este posibil să se facă unul din postulatele relativităţii consecinţă tautologică a definiţiilor, dar acest lucru nu poate fi făcut pentru ambele postulate simultan, deoarece, împreună, ele au consecinţe independente de alegerea definiţiilor pentru distanţă şi timp.

Relativitatea restrânsă este consistentă cu ea însăşi din punct de vedere matematic, şi este parte organică din toate teoriile fizice moderne, în primul rând din teoria cuantică de câmp, teoria corzilor, şi teoria relativităţii generalizate (pentru cazul câmpurilor gravitaţionale neglijabile).

Mecanica newtoniană derivă matematic din teoria relativităţii restrânse pentru viteze mici faţă de cea a luminii - astfel mecanica newtoniană poate fi considerată o relativitate restrânsă a corpurilor lente.

Câteva experimente-cheie au condus la elaborarea teoriei relativităţii restrânse:

Experimentul Trouton–Noble a arătat că momentul unui condensator este independent de poziţia sa şi de sistemul de referinţă inerţial
Celebrul experiment Michelson-Morley a dat mai mult suport postulatului privind imposibilitatea detectării unei viteze absolute.

O serie de experimente au fost efectuate cu scopul de a testa teoria relativităţii restrânse în raport cu alte teorii rivale. Printre acestea se numără:

Experimentul lui Kaufmann — devierea electronilor conform predicţiei Lorentz-Einstein
Experimentul Hamar — absenţa obstrucţiei fluxului de eter
Experimentul Kennedy–Thorndike — dilatarea temporală conform cu transformările Lorentz
Experimentul Rossi-Hall — efecte relativiste asupra timpului de înjumătăţire a unei particule de mare viteză
Experimentele de test ale teoriei emisiei au demonstrat că viteza luminii este independentă de viteza sursei acesteia.

În plus, acceleratoarele de particule funcţionează aproape în fiecare zi în toate colţurile lumii, accelerând în mod repetat şi măsurând proprietăţile particulelor ce se deplasează la viteze apropiate de cea a luminii. Multe efecte observate în acceleratoarele de particule sunt consistente cu teoria relativităţii şi profund inconsistente cu mecanica newtoniană anterioară.

modifică Note

^ Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-2327-1.
^ R. C. Tolman, The theory of the Relativity of Motion, (Berkeley 1917), p. 54
^ G. A. Benford, D. L. Book, and W. A. Newcomb, The Tachyonic Antitelephone, Phys. Rev. D 2, 263 - 265 (1970) articol
^ Einstein despre Newton 1927
^ Sidney Coleman, Sheldon L. Glashow, Cosmic Ray and Neutrino Tests of Special Relativity, Phys. Lett. B405 (1997) 249-252, online
^ Pagină a fizicianului John Baez